Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)

Em física matemática, os coeficientes de Clebsch–Gordan são os coeficientes de expansão de autoestados de momento angular total em uma base de produto tensorial desacoplada. Matematicamente, eles especificam a decomposição do produto tensorial de duas representações irredutíveis em uma soma direta de representações irredutíveis, onde o tipo e as multiplicidades dessas representações irredutíveis são conhecidos abstratamente. O nome deriva dos matemáticos alemães Alfred Clebsch (1833–1872) e Paul Gordan (1837–1912), que encontraram um problema equivalente na teoria dos invariantes. A…

Grupo SU(3)

O grupo especial unitário SU é o grupo das matrizes unitárias cujo determinante é igual a 1. Este conjunto é fechado sob multiplicação de matrizes. Todas as transformações caracterizadas pelo grupo especial unitário deixam as normas inalteradas. A simetria SU(3) aparece na simetria de sabor dos quarks leves (entre os quarks up, down e strange), denominada caminho óctuplo. O mesmo grupo atua na cromodinâmica quântica sobre os números quânticos de cor dos quarks que formam a representação fundamental (tripleto) do grupo. O grupo SU(3) é um subgrupo do grupo U(3), o grupo de todas as matrizes unitárias 3×3. A condição de unitariedade impõe nove relações de restrição sobre os 18 graus de liberdade totais de uma matriz complexa 3×3. Assim, a dimensão do grupo U(3) é 9. Além disso, multiplicar um U por uma fase, eiφ, deixa a norma invariante. Portanto, U(3) pode ser decomposto em um produto direto U(1) × SU(3)/Z3. Devido a essa restrição adicional, SU(3) tem dimensão 8.

Geradores da álgebra de Lie Toda matriz unitária U pode ser escrita na forma

U =

i H

{\displaystyle U=e^{iH}\,}

onde H é hermitiana. Os elementos de SU(3) podem ser expressos como

U =

i ∑

{\displaystyle U=e^{i\sum {a_{k}\lambda _{k}}}}

onde

{\displaystyle \lambda _{k}}

são as 8 matrizes linearmente independentes que formam a base da álgebra de Lie de SU(3), na representação tripleto. A condição de determinante unitário exige que as matrizes

{\displaystyle \lambda _{k}}

tenham traço nulo, pois

det (

) =

tr ⁡ ( A )

{\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}}

. Uma base explícita na representação fundamental, 3, pode ser construída em analogia à álgebra das matrizes de Pauli dos operadores de spin. Ela consiste nas matrizes de Gell-Mann,

(

)

(

− i

)

(

− 1

)

(

)

(

− i

)

(

)

(

− i

)

(

− 2

)

{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}\\\\\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{array}}}

Estes são os geradores do grupo SU(3) na representação tripleto, e eles são normalizados como

tr ⁡ (

) = 2

j k

{\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{j}\lambda _{k})=2\delta _{jk}.}

As constantes de estrutura da álgebra de Lie do grupo são dadas pelos comutadores de

{\displaystyle \lambda _{k}}

[

] = 2 i

∑

j k l

{\displaystyle [\lambda _{j},\lambda _{k}]=2i\sum _{l}f_{jkl}\lambda _{l}~,}

onde

j k l

{\displaystyle f_{jkl}}

são as constantes de estrutura completamente antissimétricas e são análogas ao símbolo de Levi-Civita

j k l

{\displaystyle \epsilon _{jkl}}

de SU(2). Em geral, elas se anulam, a menos que contenham um número ímpar de índices do conjunto {2,5,7}, correspondendo aos λ antissimétricos. Observe que

l j k

− i

t r

( [

]

)

{\displaystyle f_{ljk}={\frac {-i}{4}}\mathrm {tr} ([\lambda _{l},\lambda _{j}]\lambda _{k})}

. Além disso,

{

} =

4 3

j k

+ 2

j k l

{\displaystyle \{\lambda _{j},\lambda _{k}\}={\frac {4}{3}}\delta _{jk}+2d_{jkl}\lambda _{l}}

onde

j k l

{\displaystyle d_{jkl}}

são os coeficientes constantes completamente simétricos. Eles se anulam se o número de índices do conjunto {2, 5, 7} for ímpar. Em termos das matrizes,

j k l

1 4

tr ⁡ ( {

}

) =

1 4

tr ⁡ ( {

}

) =

k l j

k j l

{\displaystyle d_{jkl}={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{j},\lambda _{k}\}\lambda _{l})={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{k},\lambda _{l}\}\lambda _{j})=d_{klj}=d_{kjl}}

Base padrão

Uma base padrão ligeiramente diferente normalizada consiste nos operadores F-spin, que são definidos como

1 2

{\displaystyle {\hat {F_{i}}}={\frac {1}{2}}\lambda _{i}}

para o 3, e são utilizados para aplicar a qualquer representação desta álgebra. A base de Cartan–Weyl da álgebra de Lie de SU(3) é obtida por outra mudança de base, onde se define,

I ^

F ^

± i

F ^

{\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }={\hat {F}}_{1}\pm i{\hat {F}}_{2}}

I ^

{\displaystyle {\hat {I}}_{3}={\hat {F_{3}}}}

V ^

F ^

± i

F ^

{\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }={\hat {F}}_{4}\pm i{\hat {F}}_{5}}

U ^

F ^

± i

F ^

{\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }={\hat {F}}_{6}\pm i{\hat {F}}_{7}}

Y ^

F ^

{\displaystyle {\hat {Y}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}{\hat {F}}_{8}~.}

Devido aos fatores de i nessas fórmulas, esta é tecnicamente uma base para a complexificação da álgebra de Lie su(3), ou seja, sl(3,C). A base anterior é então essencialmente a mesma usada no livro de Hall.

Álgebra de comutação dos geradores A forma padrão dos geradores do grupo SU(3) satisfaz as relações de comutação dadas abaixo,

Todas as outras relações de comutação seguem da conjugação hermitiana desses operadores. Essas relações de comutação podem ser usadas para construir as representações irredutíveis do grupo SU(3). As representações do grupo estão no plano I3−Y bidimensional. Aqui,

I ^

{\displaystyle {\hat {I}}_{3}}

representa a componente z do isospin e

Y ^

{\displaystyle {\hat {Y}}}

é a hipercarga, e eles compreendem a subálgebra de Cartan (abeliana) de toda a álgebra de Lie. O número máximo de geradores comutantes mutuamente de uma álgebra de Lie é chamado de seu posto: SU(3) tem posto 2. Os 6 geradores restantes, os operadores escada ±, correspondem às 6 raízes dispostas na rede hexagonal bidimensional da figura.

Operadores de Casimir

O operador de Casimir é um operador que comuta com todos os geradores do grupo de Lie. No caso de SU(2), o operador quadrático J2 é o único operador independente desse tipo. No caso do grupo SU(3), por outro lado, dois operadores de Casimir independentes podem ser construídos, um quadrático e um cúbico: são eles,

∑

j k l

{\displaystyle {\hat {C_{1}}}=\sum _{k}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{k}}}\qquad \qquad {\hat {C_{2}}}=\sum _{jkl}d_{jkl}{\hat {F_{j}}}{\hat {F_{k}}}{\hat {F_{l}}}~.}

Esses operadores de Casimir servem para rotular as representações irredutíveis da álgebra do grupo de Lie SU(3), porque todos os estados em uma dada representação assumem o mesmo valor para cada operador de Casimir, que atua como a identidade em um espaço com a dimensão dessa representação. Isso ocorre porque os estados em uma dada representação são conectados pela ação dos geradores da álgebra de Lie, e todos os geradores comutam com os operadores de Casimir. Por exemplo, para a representação tripleto, D(1,0), o autovalor de ⁠

C ^

{\displaystyle {\hat {C}}_{1}}

⁠ é 4/3, e o de ⁠

C ^

{\displaystyle {\hat {C}}_{2}}

⁠ é 10/9. Mais geralmente, a partir da fórmula de Freudenthal, para D(p,q) genérico, o autovalor de ⁠

C ^

{\displaystyle {\hat {C}}_{1}}

⁠ é

(

+ 3 p + 3 q + p q )

{\displaystyle (p^{2}+q^{2}+3p+3q+pq)/3}

. O autovalor ("coeficiente de anomalia") de ⁠

C ^

{\displaystyle {\hat {C}}_{2}}

⁠ é

( p − q ) ( 3 + p + 2 q ) ( 3 + q + 2 p )

18.

{\displaystyle (p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18.}

É uma função ímpar sob a troca p ↔ q. Consequentemente, ele se anula para representações reais p = q, como a adjunta, D(1,1), ou seja, tanto ⁠

C ^

{\displaystyle {\hat {C}}_{2}}

⁠ quanto as anomalias se anulam para ela.

Representações do grupo SU(3)

As representações irredutíveis do SU(3) são analisadas em vários lugares, incluindo o livro de Hall. Como o grupo SU(3) é simplesmente conexo, as representações estão em correspondência biunívoca com as representações de sua álgebra de Lie su(3), ou a complexificação de sua álgebra de Lie, sl(3,C). Rotulamos as representações como D(p,q), com p e q sendo inteiros não negativos, onde em termos físicos, p é o número de quarks e q é o número de antiquarks. Matematicamente, a representação D(p,q) pode ser construída tomando o produto tensorial de p cópias da representação padrão tridimensional e q cópias da dual da representação padrão e, em seguida, extraindo um subespaço invariante irredutível. (Veja também a seção de tableaux de Young abaixo: p é o número de colunas de uma caixa, "quarks", e q o número de colunas de duas caixas, "antiquarks"). Outra maneira de pensar sobre os parâmetros p e q é como os autovalores máximos das matrizes diagonais

(

− 1

)

(

− 1

)

{\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}

. (Os elementos

{\displaystyle H_{1}}

{\displaystyle H_{2}}

são combinações lineares dos elementos

I ^

{\displaystyle {\hat {I}}_{3}}

Y ^

{\displaystyle {\hat {Y}}}

, mas normalizados de modo que os autovalores de

{\displaystyle H_{1}}

{\displaystyle H_{2}}

sejam inteiros.) Isso deve ser comparado à teoria de representação de SU(2), onde as representações irredutíveis são rotuladas pelo autovalor máximo de um único elemento, h.

As representações têm dimensão

d ( p , q ) =

1 2

( p + 1 ) ( q + 1 ) ( p + q + 2 ) ,

{\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2),}

seus caracteres irredutíveis são dados por

p , q

( θ , φ ) =

θ 3

( 2 p + q )

∑

k = 0

∑

l = 0

− i ( k + l ) θ

(

sin ⁡ ( ( k − l + q + 1 ) φ

2 )

sin ⁡ ( φ

2 )

)

{\displaystyle \chi ^{p,q}(\theta ,\phi )=e^{i{\frac {\theta }{3}}(2p+q)}\sum \limits _{k=0}^{p}\sum \limits _{l=0}^{q}e^{-i(k+l)\theta }\left({\frac {\sin((k-l+q+1)\phi /2)}{\sin(\phi /2)}}\right),}

e a correspondente medida de Haar é

μ ( S U ( 3 ) ) = 64 sin ⁡

(

φ 2

)

sin ⁡

(

1 2

( θ + φ

2 )

)

sin ⁡

(

1 2

( θ − φ

2 )

)

{\displaystyle \mu (SU(3))=64\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta +\phi /2)\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta -\phi /2)\right)^{2}}

tal que

− 2 π ≤ φ ≤ 2 π

{\displaystyle -2\pi \leq \phi \leq 2\pi }

− 3 π ≤ θ ≤ 3 π

{\displaystyle -3\pi \leq \theta \leq 3\pi }

V ( S U ( 3 ) ) =

∫

− π

∫

− π

(

φ 2

)

(

θ 3

)

μ ( S U ( 3 ) ) =

∫

− 2 π

2 π

d φ

∫

− 3 π

3 π

d θ

μ ( S U ( 3 ) ) = 24

{\displaystyle V(SU(3))=\int _{-\pi }^{\pi }\!\int _{-\pi }^{\pi }d\!\left({\frac {\phi }{2}}\right)d\!\left({\frac {\theta }{3}}\right)\mu (SU(3))=\int _{-2\pi }^{2\pi }{\frac {d\phi }{2}}\int _{-3\pi }^{3\pi }{\frac {d\theta }{3}}\mu (SU(3))=24\pi ^{2}.}

Um múltipleto de SU(3) pode ser completamente especificado por cinco rótulos, dois dos quais, os autovalores dos dois operadores de Casimir, são comuns a todos os membros do múltipleto. Isso generaliza os meros dois rótulos para os múltipletos de SU(2), a saber, os autovalores de seu operador de Casimir quadrático e de I3. Uma vez que

[

I ^

Y ^

] = 0

{\displaystyle [{\hat {I}}_{3},{\hat {Y}}]=0}

, podemos rotular diferentes estados pelos autovalores dos operadores

I ^

{\displaystyle {\hat {I}}_{3}}

Y ^

{\displaystyle {\hat {Y}}}

t , y ⟩

{\displaystyle |t,y\rangle }

, para um dado autovalor do operador de Casimir do isospin. A ação dos operadores sobre esses estados é dada por

I ^

t , y ⟩ = t

t , y ⟩

{\displaystyle {\hat {I}}_{3}|t,y\rangle =t|t,y\rangle }

Y ^

t , y ⟩ = y

t , y ⟩

{\displaystyle {\hat {Y}}|t,y\rangle =y|t,y\rangle }

U ^

t , y ⟩ =

(

3 4

y −

1 2

)

t , y ⟩

{\displaystyle {\hat {U}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y-{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }

V ^

t , y ⟩ =

(

3 4

y +

1 2

)

t , y ⟩

{\displaystyle {\hat {V}}_{0}|t,y\rangle ={\Bigl (}{\frac {3}{4}}y+{\frac {1}{2}}t{\Bigr )}|t,y\rangle }

I ^

t , y ⟩ = α

t ± 1 , y ⟩

{\displaystyle {\hat {I}}_{\pm }|t,y\rangle =\alpha |t\pm 1,y\rangle }

U ^

t , y ⟩ = β

t ∓

1 2

, y ± 1 ⟩

{\displaystyle {\hat {U}}_{\pm }|t,y\rangle =\beta |t\mp {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }

V ^

t , y ⟩ = γ

t ±

1 2

, y ± 1 ⟩

{\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }|t,y\rangle =\gamma |t\pm {\frac {1}{2}},y\pm 1\rangle }

Aqui,

U ^

≡

1 2

[

U ^

−

] =

3 4

Y ^

−

1 2

I ^

{\displaystyle {\hat {U}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {U}}_{+},{\hat {U}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}-{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}}

V ^

≡

1 2

[

V ^

−

] =

3 4

Y ^

1 2

I ^

{\displaystyle {\hat {V}}_{0}\equiv {\frac {1}{2}}[{\hat {V}}_{+},{\hat {V}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\hat {Y}}+{\frac {1}{2}}{\hat {I}}_{3}.}

Todos os outros estados da representação podem ser construídos pela aplicação sucessiva dos operadores escada

I ^

U ^

{\displaystyle {\hat {I}}_{\pm },{\hat {U}}_{\pm }}

V ^

{\displaystyle {\hat {V}}_{\pm }}

e pela identificação dos estados base que são aniquilados pela ação dos operadores de descida. Esses operadores podem ser imaginados como flechas cujas extremidades formam os vértices de um hexágono (figura dos geradores acima).

Coeficiente de Clebsch–Gordan para SU(3) A representação produto de duas representações irredutíveis

D (

)

{\displaystyle D(p_{1},q_{1})}

D (

)

{\displaystyle D(p_{2},q_{2})}

é geralmente redutível. Simbolicamente,

D (

) ⊗ D (

) =

⨁

P , Q

σ ( P , Q ) D ( P , Q )

{\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\bigoplus _{P,Q}\sigma (P,Q)D(P,Q)~,}

onde ⁠

σ ( P , Q )

{\displaystyle \sigma (P,Q)}

⁠ é um inteiro. Por exemplo, dois octetos (adjuntos) se compõem como

D ( 1 , 1 ) ⊗ D ( 1 , 1 ) = D ( 2 , 2 ) ⊕ D ( 3 , 0 ) ⊕ D ( 1 , 1 ) ⊕ D ( 1 , 1 ) ⊕ D ( 0 , 3 ) ⊕ D ( 0 , 0 )

{\displaystyle D(1,1)\otimes D(1,1)=D(2,2)\oplus D(3,0)\oplus D(1,1)\oplus D(1,1)\oplus D(0,3)\oplus D(0,0)~,}

isto é, seu produto se reduz a um icosasepteto (27), decupleto, dois octetos, um antidecupleto e um singleto, totalizando 64 estados. A série à direita é chamada de série de Clebsch–Gordan. Isso implica que a representação ⁠

D ( P , Q )

{\displaystyle D(P,Q)}

⁠ aparece ⁠

σ ( P , Q )

{\displaystyle \sigma (P,Q)}

⁠ vezes na redução deste produto direto de

D (

)

{\displaystyle D(p_{1},q_{1})}

com

D (

)

{\displaystyle D(p_{2},q_{2})}

. Agora, um conjunto completo de operadores é necessário para especificar unicamente os estados de cada representação irredutível dentro daquela que acabamos de reduzir. O conjunto completo de operadores comutantes no caso da representação irredutível ⁠

D ( P , Q )

{\displaystyle D(P,Q)}

⁠ é

{

C ^

I ^

Y ^

}

{\displaystyle \{{\hat {C}}_{1},{\hat {C}}_{2},{\hat {I}}_{3},{\hat {I}}^{2},{\hat {Y}}\}~,}

onde

≡

{\displaystyle I^{2}\equiv {I_{1}}^{2}+{I_{2}}^{2}+{I_{3}}^{2}}

. Os estados da representação produto direto acima são, portanto, completamente representados pelo conjunto de operadores

{

C ^

( 1 ) ,

C ^

( 1 ) ,

I ^

( 1 ) ,

I ^

( 1 ) ,

Y ^

( 1 ) ,

C ^

( 2 ) ,

C ^

( 2 ) ,

I ^

( 2 ) ,

I ^

( 2 ) ,

Y ^

( 2 ) } ,

{\displaystyle \{{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {I}}_{3}(1),{\hat {I}}^{2}(1),{\hat {Y}}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(2),{\hat {I}}_{3}(2),{\hat {I}}^{2}(2),{\hat {Y}}(2)\},}

onde o número entre parênteses designa a representação na qual o operador atua. Um conjunto alternativo de operadores comutantes pode ser encontrado para a representação produto direto, se considerarmos o seguinte conjunto de operadores,

C ^

( 1 ) +

C ^

( 2 )

C ^

( 1 ) +

C ^

( 2 )

I ^

( 1 ) +

I ^

( 2 )

Y ^

( 1 ) +

Y ^

( 2 )

I ^

( 1 ) +

I ^

( 2 ) .

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&={\hat {C}}_{1}(1)+{\hat {C}}_{1}(2)\\{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&={\hat {C}}_{2}(1)+{\hat {C}}_{2}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&={\hat {I}}^{2}(1)+{\hat {I}}^{2}(2)\\{\hat {\mathbb {Y} }}&={\hat {Y}}(1)+{\hat {Y}}(2)\\{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&={\hat {I}}_{3}(1)+{\hat {I}}_{3}(2).\end{aligned}}}

Assim, o conjunto de operadores comutantes inclui

{

C ^

( 1 ) ,

C ^

( 2 ) ,

C ^

( 1 ) ,

C ^

( 2 ) } .

{\displaystyle \{{\hat {\mathbb {C} }}_{1},{\hat {\mathbb {C} }}_{2},{\hat {\mathbb {Y} }},{\hat {\mathbb {I} }}_{3},{\hat {\mathbb {I} }}^{2},{\hat {C}}_{1}(1),{\hat {C}}_{1}(2),{\hat {C}}_{2}(1),{\hat {C}}_{2}(2)\}.}

Este é um conjunto de apenas nove operadores. Mas o conjunto deve conter dez operadores para definir todos os estados da representação produto direto de forma única. Para encontrar o último operador Γ, deve-se olhar para fora do grupo. É necessário distinguir diferentes ⁠

D ( P , Q )

{\displaystyle D(P,Q)}

⁠ para valores semelhantes de P e Q.

Operador

Autovalor

Operador

Autovalor

Operador

Autovalor

Operador

Autovalor

C ^

( 1 )

C ^

( 2 )

C ^

( 1 )

C ^

( 2 )

Γ ^

Y ^

I ^

( 1 )

I ^

( 2 )

I ^

( 1 )

I ^

( 2 )

{\displaystyle {\begin{array}{cc|cc|cc|cc}{\text{Operador}}&{\text{Autovalor}}&{\text{Operador}}&{\text{Autovalor}}&{\text{Operador}}&{\text{Autovalor}}&{\text{Operador}}&{\text{Autovalor}}\\\hline {\hat {C}}_{1}(1)&{c^{1}}_{1}&{\hat {C}}_{1}(2)&{c^{1}}_{2}&{\hat {C}}_{2}(1)&{c^{2}}_{1}&{\hat {C}}_{2}(2)&{c^{2}}_{2}\\{\hat {\mathbb {I} }}^{2}&{i^{2}}&{\hat {\mathbb {I} }}_{3}&{i^{z}}&{\hat {\mathbb {Y} }}&{y}&{\hat {\Gamma }}&\gamma \\{\hat {\mathbb {C} }}_{1}&{c^{1}}&{\hat {\mathbb {C} }}_{2}&{c^{1}}&{\hat {Y}}_{1}&{y}_{1}&{\hat {Y}}_{2}&{y}_{2}\\{\hat {I}}^{2}(1)&{i^{2}}_{1}&{\hat {I}}^{2}(2)&{i^{2}}_{2}&{\hat {I}}_{3}(1)&{i^{z}}_{1}&{\hat {I}}_{3}(2)&{i^{z}}_{2}\end{array}}}

Assim, qualquer estado na representação produto direto pode ser representado pelo ket

⟩

{\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }

também usando o segundo conjunto completo de operadores comutantes, podemos definir os estados na representação produto direto como

, y , γ ,

⟩

{\displaystyle |{c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }

Podemos eliminar

{\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2}}

do estado e rotular os estados como

⟩

{\displaystyle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }

usando os operadores do primeiro conjunto, e,

y , γ ,

⟩

{\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle ~,}

usando os operadores do segundo conjunto. Ambos os estados abrangem a representação produto direto e quaisquer estados na representação podem ser rotulados por uma escolha adequada dos autovalores. Usando a relação de completeza,

y , γ ,

⟩ =

∑

⟨

y , γ ,

⟩

{\displaystyle |y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle =\sum _{y_{1},y_{2}}\sum _{{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2}}\sum _{{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}}\langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }

Aqui, os coeficientes

⟨

y , γ ,

⟩

{\displaystyle \langle y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle }

são os coeficientes de Clebsch–Gordan.

Uma notação diferente Para evitar confusão, os autovalores

{\displaystyle c^{1},c^{2}}

podem ser denotados simultaneamente por μ e os autovalores

, y

{\displaystyle i^{2},i^{z},y}

são denotados simultaneamente por ν. Então o autoestado da representação produto direto ⁠

D ( P , Q )

{\displaystyle D(P,Q)}

⁠ pode ser denotado por

(

)

{\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}},}

onde

{\displaystyle \mu _{1}}

são os autovalores de

{\displaystyle {c^{1}}_{1},{c^{2}}_{1}}

{\displaystyle \mu _{2}}

são os autovalores de

{\displaystyle {c^{1}}_{2},{c^{2}}_{2}}

denotados simultaneamente. Aqui, a quantidade expressa entre parênteses é o símbolo 3-j de Wigner. Além disso,

{\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}}

são considerados os estados de base de

D (

)

{\displaystyle D(p_{1},q_{1})}

{\displaystyle {\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}

são os estados de base de

D (

)

{\displaystyle D(p_{2},q_{2})}

. Também

{\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}},{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}

são os estados de base da representação produto. Aqui

{\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}

representam os autovalores combinados

(

)

{\displaystyle ({i^{2}}_{1},{i^{z}}_{1},y_{1})}

(

)

{\displaystyle ({i^{2}}_{2},{i^{z}}_{2},y_{2})}

respectivamente. Assim, as transformações unitárias que conectam as duas bases são

(

)

∑

(

)

{\displaystyle \psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}=\sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}

Esta é uma notação comparativamente compacta. Aqui,

(

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}

são os coeficientes de Clebsch–Gordan.

Relações de ortogonalidade Os coeficientes de Clebsch–Gordan formam uma matriz ortogonal real. Portanto,

∑

μ , ν , γ

(

)

(

)

{\displaystyle {\phi ^{\mu _{1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}=\sum _{\mu ,\nu ,\gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}\psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}.}

Além disso, eles seguem as seguintes relações de ortogonalidade,

∑

(

)

(

γ ′

ν ′

)

ν ′

γ ,

γ ′

{\displaystyle \sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma '\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu '\end{pmatrix}}=\delta _{\nu \nu '}\delta _{\gamma ,\gamma '}}

∑

μ ν γ

(

)

(

′

)

′

{\displaystyle \sum _{\mu \nu \gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}'&\nu _{2}'&\nu \end{pmatrix}}=\delta _{\nu _{1}\nu _{1}'}\delta _{\nu _{2},\nu _{2}'}}

Propriedades de simetria Se uma representação irredutível

{\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{\gamma }}}

aparece na série de Clebsch–Gordan de

⊗

{\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{1}\otimes {\mu }_{2}}}

, então ela deve aparecer na série de Clebsch–Gordan de

⊗

{\displaystyle {\scriptstyle {\mu }_{2}\otimes {\mu }_{1}}}

. O que implica,

(

)

(

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{1}{\begin{pmatrix}\mu _{2}&\mu _{1}&\gamma \\\nu _{2}&\nu _{1}&\nu \end{pmatrix}}}

Onde

(

, γ ) = ± 1

{\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}

Como os coeficientes de Clebsch–Gordan são todos reais, a seguinte propriedade de simetria pode ser deduzida,

(

)

(

∗

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{2}{\begin{pmatrix}{\mu _{1}}^{*}&{\mu _{2}}^{*}&{\gamma }^{*}\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}}

Onde

(

, γ ) = ± 1

{\displaystyle \xi _{2}=\xi _{2}(\mu _{1},\mu _{2},\gamma )=\pm 1}

Grupo de simetria do operador Hamiltoniano do oscilador 3D Um oscilador harmônico tridimensional é descrito pelo Hamiltoniano

H ^

= −

1 2

∇

1 2

(

) ,

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),}

onde a constante de mola, a massa e a constante de Planck foram absorvidas na definição das variáveis, ħ = m =1. Observa-se que este Hamiltoniano é simétrico sob transformações de coordenadas que preservam o valor de

V =

{\displaystyle V=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

. Assim, quaisquer operadores no grupo SO(3) mantêm este Hamiltoniano invariante. Mais significativamente, como o Hamiltoniano é hermitiano, ele permanece invariante sob a ação de elementos do grupo muito maior SU(3).

Mais sistematicamente, operadores como os operadores escada

a ^

X ^

+ i

P ^

{\displaystyle {\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}={\hat {X}}_{i}+i{\hat {P}}_{i}~~}

a ^

†

X ^

− i

P ^

{\displaystyle ~~{\sqrt {2}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }={\hat {X}}_{i}-i{\hat {P}}_{i}}

podem ser construídos para aumentar e diminuir o autovalor do operador Hamiltoniano em 1. Os operadores

a ^

≠

a ^

†

{\displaystyle {\hat {a}}_{i}\neq {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}

não são hermitianos, mas operadores hermitianos podem ser construídos a partir de combinações de

a ^

†

{\displaystyle {\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}

a ^

†

a ^

†

{\displaystyle {\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }+{\hat {a}}_{j}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }~~}

(

a ^

†

−

a ^

†

)

{\displaystyle ~~i\left({\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }-{\hat {a}}_{j}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\right)}

. Existem nove desses operadores para

i ,

j = 1 ,

2 ,

{\displaystyle i,\,j=1,\,2,\,3}

. Os nove operadores hermitianos formados pelas formas bilineares âi†âj são controlados pelos comutadores fundamentais

[

a ^

†

] =

i j

{\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},}

[

a ^

] = [

a ^

†

a ^

†

] = 0 ,

{\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=0,}

e vê-se que eles não comutam entre si. Como resultado, esse conjunto completo de operadores não compartilha seus autovetores em comum, e não podem ser diagonalizados simultaneamente. O grupo é, portanto, não abeliano e degenerescências podem estar presentes no Hamiltoniano, conforme indicado. O Hamiltoniano do oscilador harmônico isotrópico 3D, quando escrito em termos do operador

a ^

†

a ^

{\displaystyle {\hat {N_{i}}}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}

, equivale a

H ^

= ω

[

3 2

N ^

]

{\displaystyle {\hat {H}}=\omega {\bigl [}{\tfrac {3}{2}}+{\hat {N}}_{1}+{\hat {N}}_{2}+{\hat {N}}_{3}{\bigr ]}}

. O Hamiltoniano tem degenerescência de ordem 8. Uma aplicação sucessiva de âi e âj† à esquerda preserva o Hamiltoniano invariante, pois aumenta Ni em 1 e diminui Nj em 1, mantendo assim constante o total

N = ∑

{\displaystyle N=\sum {N_{i}}}

. (cf. oscilador harmônico quântico)

Conjunto maximamente comutante de operadores Como os operadores pertencentes ao grupo de simetria do Hamiltoniano nem sempre formam um grupo abeliano, uma base de autovetores comum não pode ser encontrada para diagonalizar todos eles simultaneamente. Em vez disso, tomamos o conjunto maximamente comutante de operadores do grupo de simetria do Hamiltoniano e tentamos reduzir as representações matriciais do grupo em representações irredutíveis.

Espaço de Hilbert de dois sistemas O espaço de Hilbert de duas partículas é o produto tensorial dos dois espaços de Hilbert das duas partículas individuais,

⊗

{\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {H} _{1}\otimes \mathbb {I} +\mathbb {I} \otimes \mathbb {H} _{2}~,}

onde

{\displaystyle \mathbb {H} _{1}}

{\displaystyle \mathbb {H} _{2}}

são os espaços de Hilbert da primeira e da segunda partículas, respectivamente. Os operadores em cada um dos espaços de Hilbert têm suas próprias relações de comutação, e um operador de um espaço de Hilbert comuta com um operador do outro espaço de Hilbert. Assim, o grupo de simetria do operador Hamiltoniano de duas partículas é o superconjunto dos grupos de simetria dos operadores Hamiltonianos das partículas individuais. Se os espaços de Hilbert individuais são N-dimensionais, o espaço de Hilbert combinado é N2-dimensional.

Coeficiente de Clebsch–Gordan neste caso O grupo de simetria do Hamiltoniano é SU(3). Como resultado, os coeficientes de Clebsch–Gordan podem ser encontrados expandindo os vetores de base desacoplada do grupo de simetria do Hamiltoniano em sua base acoplada. A série de Clebsch–Gordan é obtida diagonalizando em blocos o Hamiltoniano através da transformação unitária construída a partir dos autoestados que diagonalizam o conjunto máximo de operadores comutantes.

Tableaux de Young

Um tableau de Young (plural tableaux) é um método para decompor produtos de uma representação de SU(N) em uma soma de representações irredutíveis. Ele fornece a dimensão e os tipos de simetria das representações irredutíveis, o que é conhecido como série de Clebsch–Gordan. Cada representação irredutível corresponde a um estado de uma única partícula e um produto de mais de uma representação irredutível indica um estado de múltiplas partículas. Como as partículas são geralmente indistinguíveis na mecânica quântica, isso se relaciona aproximadamente com várias partículas permutáveis. As permutações de n partículas idênticas constituem o grupo simétrico Sn. Todo estado de n partículas de Sn que é composto por estados de uma única partícula do múltipleto fundamental N-dimensional de SU(N) pertence a uma representação irredutível de SU(N). Assim, ele pode ser usado para determinar a série de Clebsch–Gordan para qualquer grupo unitário.

Construindo os estados Qualquer função de onda de duas partículas

1 , 2

{\displaystyle \psi _{1,2}}

, onde os índices 1,2 representam o estado da partícula 1 e 2, pode ser usada para gerar estados de simetria explícita usando os operadores de simetrização e antissimetrização.

{\displaystyle \mathbf {S_{12}} =\mathbf {I} +\mathbf {P_{12}} }

−

{\displaystyle \mathbf {A_{12}} =\mathbf {I} -\mathbf {P_{12}} }

onde

{\displaystyle \mathbf {P_{12}} }

é o operador que troca as partículas (operador de troca). A seguinte relação segue:

{\displaystyle \mathbf {P_{12}P_{12}} =\mathbf {I} }

{\displaystyle \mathbf {P_{12}S_{12}} =\mathbf {P_{12}} +\mathbf {I} =\mathbf {S_{12}} }

−

= −

{\displaystyle \mathbf {P_{12}A_{12}} =\mathbf {P_{12}} -\mathbf {I} =-\mathbf {A_{12}} }

= +

{\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {S_{12}} \psi _{12}=+\mathbf {S_{12}} \psi _{12}}

assim,

= −

{\displaystyle \mathbf {P_{12}} \mathbf {A_{12}} \psi _{12}=-\mathbf {A_{12}} \psi _{12}.}

Partindo de um estado de múltiplas partículas, podemos aplicar

{\displaystyle \mathbf {S_{12}} }

{\displaystyle \mathbf {A_{12}} }

repetidamente para construir estados que são:

Simétricos com respeito a todas as partículas. Antissimétricos com respeito a todas as partículas. Simetrias mistas, ou seja, simétricos ou antissimétricos com respeito a algumas partículas.

Construindo os tableaux Em vez de usar ψ, nos tableaux de Young, usamos caixas quadradas (□) para denotar partículas e i para denotar o estado das partículas. O conjunto completo de

{\displaystyle n_{p}}

partículas é denotado por arranjos de

{\displaystyle n_{p}}

□s, cada um com seu próprio rótulo de número quântico (i). O tableau é formado empilhando caixas lado a lado e para cima e para baixo de tal forma que os estados simetrizados com respeito a todas as partículas são dados em uma linha e os estados antissimetrizados com respeito a todas as partículas estão em uma única coluna. As seguintes regras são seguidas ao construir o tableau:

Uma linha não deve ser mais longa do que a anterior. Os rótulos quânticos (números no □) não devem diminuir ao ir da esquerda para a direita em uma linha. Os rótulos quânticos devem aumentar estritamente ao descer em uma coluna.

Caso para N = 3 Para N = 3, que é o caso do SU(3), a seguinte situação surge. No SU(3), há três rótulos, geralmente designados por (u,d,s) correspondendo aos quarks up, down e strange que seguem a álgebra do SU(3). Eles também podem ser designados genericamente como (1,2,3). Para um sistema de duas partículas, temos os seguintes seis estados simétricos:

e os seguintes três estados antissimétricos:

( u d − d u )

( u s − s u )

( d s − s d )

{\displaystyle {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud-du)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us-su)}\qquad {{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds-sd)}}

O tableau de 1 coluna e 3 linhas é o singleto, e assim todos os tableaux de irreps não triviais do SU(3) não podem ter mais do que duas linhas. A representação D(p,q) tem p+q caixas na primeira linha e q caixas na segunda linha.

Série de Clebsch–Gordan a partir dos tableaux A série de Clebsch–Gordan é a expansão do produto tensorial de duas representações irredutíveis em uma soma direta de representações irredutíveis.

D (

) ⊗ D (

) =

∑

P , Q

⊕ D ( P , Q )

{\displaystyle D(p_{1},q_{1})\otimes D(p_{2},q_{2})=\sum _{P,Q}\oplus D(P,Q)}

. Isso pode ser facilmente encontrado a partir dos tableaux de Young.

Exemplo de série de Clebsch–Gordan para SU(3) O produto tensorial de um tripleto com um octeto reduzindo-se a um deciquintupleto (15), um sexteto e um tripleto

D ( 1 , 0 ) ⊗ D ( 1 , 1 ) = D ( 2 , 1 ) ⊕ D ( 0 , 2 ) ⊕ D ( 1 , 0 )

{\displaystyle D(1,0)\otimes D(1,1)=D(2,1)\oplus D(0,2)\oplus D(1,0)}

aparece diagramaticamente como:

um total de 24 estados. Usando o mesmo procedimento, qualquer representação produto direto é facilmente reduzida.

Ver também Matriz D de Wigner Operador tensorial Teorema de Wigner–Eckart Teoria da representação Coeficiente W de Racah Fórmula de massa de Gell-Mann–Okubo

Referências

Bibliografia Lichtenberg, D.B. (2012). Unitary Symmetry and Elementary Particles 2nd ed. [S.l.]: Academic Press. ISBN 978-0123941992 Greiner, W.; Müller, B. (2012). Quantum Mechanics: Symmetries 2nd ed. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3540580805 Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Col: Graduate Texts in Mathematics. 222 2nd ed. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3319134666 McNamee, P.; j., S.; Chilton, F. (1964). «Tables of Clebsch–Gordan Coefficients of SU3». Reviews of Modern Physics. 36 (4). 1005 páginas. Bibcode:1964RvMP...36.1005M. doi:10.1103/RevModPhys.36.1005 Mandel'tsveig, V. B. (1965). «Irreducible representations of the SU3 group». Sov Phys JETP. 20 (5): 1237–1243 online Arquivado em 2016-03-11 no Wayback Machine Coleman, Sidney (1965). «Fun with SU(3)». INSPIREHep. IAEA Pluhar, Z.; Smirnov, Yu F.; Tolstoy, V. N. (1986). «Clebsch-Gordan coefficients of SU(3) with simple symmetry properties». Journal of Physics A: Mathematical and General. 19 (1): 21–28. Bibcode:1986JPhA...19...21P. doi:10.1088/0305-4470/19/1/007

Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)

Mais conteúdos de Ciência

Como pesquisar o acervo da biblioteca do DNOCS sobre o semiárido?

Leandra ovata